CASOS DE FACTORIZACIÓN

CASOS DE FACTORIZACIÓN

Es una técnica que consiste en la descripción de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma, una matriz, un polinomio, etc.) en forma de producto.Existen diferentes métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de «bloques fundamentales», que recibe el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles. Para ello, primero se debe identificar qué tipo de factorización tenemos que realizar.

x ( x + y ) = x² + xy

El producto x² + xy, entonces, los factores de esta expresión algebraica son x y x + y.

La factorización se utiliza en muchas áreas de las matemáticas con el fin de simplificar cálculos, la mayor ventaja de pasar de sumas o restas a multiplicaciones, es que en la multiplicación podemos aplicar reglas y simplificaciones que no se pueden realizar durante la suma o resta.

CASO 1: FACTOR COMÚN

Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común. El primer caso de factores se divide en dos partes que son: factor común monomio y factor común polinomio.

Se denomina polinomio a la suma de varios monomios. Un monomio es una clase de polinomio con un único término.

Características:

· Mínimo tiene que tener dos términos.

· Tiene que tener una letra o un número común.

· Partes literales en todos los términos.

· El común debe de ser el menor exponente y el menor número de coeficiente.

· Debe ser posible repartir en factores.

Pasos para desarrollar un ejercicio de factor común:

· Se busca la variable común.

· Luego se divide para cada uno de sus factores.

· Entonces queda.

· Se resuelve primero lo del paréntesis.

· Por último se multiplica los dos números.

Factor Común Monomio:

Ejemplo 1:

14x² y² - 28x³ + 56x⁴

R: 14x² (y² - 2x + 4x²)

Ejemplo 2:

X³+ x⁵ – x⁷ = R: x³ (1 + x² - x⁴)

Factor Común Polinomio:

Ejemplo 1:

a(x + 1) + b(x + 1)

R: (x + 1) (a +b)

CASO 2:

AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS

¿Por qué se llama así el caso?

Porque se toman "grupos" de términos para sacar Factor Común entre ellos.

¿Y por qué se eligen "grupos" de términos?

Porque en el polinomio no hay un Factor Común para todos los términos, pero sí lo hay para algunos términos entre sí. Con estos términos que tienen factor común entre sí es que se arman los "grupos".

¿Y siempre se puede aplicar este caso?

No, el polinomio tiene que cumplir varias condiciones para que se pueda aplicar el caso:

1. El número de términos debe ser par: 4 términos, 6 términos, 8 términos... (Para que se puedan armar grupos de igual cantidad de términos).

2. En todos los grupos que armemos tienen que haber Factor Común entre los términos que agrupamos .

3. Los "resultados" de sacar Factor Común en los distintos grupos deben dar iguales, o con los mismos términos desordenados y/u opuestos (con signo contrario)

¿Si los resultados me dan diferentes, significa siempre que no podré aplicar el caso?

No siempre, porque puedes probar agrupando de distinta manera. Muchas veces la dificultad de este Caso está justamente en encontrar cuáles términos agrupar con cuáles, para que el resultado dé como tiene que dar. Que no dé bien en un primer intento no quiere decir que no pueda aplicarse.

¿Cómo tienen que ser los "resultados" para poder seguir con el caso?

Luego de agrupar y sacar Factor Común en los grupos, los resultados tienen que ser de alguna de las siguientes formas:

1. Iguales. Por ejemplo, (x + 3) en un agrupación, y (x + 3) en otra agrupación

2. Los mismos términos, pero desordenados. Por ejemplo (x + 3) y (3 + x)

3. Los mismos términos, pero con los signos contrarios. Por ejemplo, (x + 3) y (-x - 3). O también (x - 3) y (-x + 3)

4. Los mismos términos, pero desordenados y con los signos contrarios. Por ejemplo: (x + 3) y (-3 - x). O también (x - 3) y (3 - x)

5. Caso excepcional : El resultado de una agrupación tiene que ser igual (o también "desordenado y/u opuesto") a los términos que quedan sin agrupar. Por ejemplo:

4x². (x + 1) + x + 1

Se puede ver que luego de agrupar el primer y segundo término, el resultado es (x + 1), casualmente igual a los otros dos términos que quedaron sin agrupar (porque no había Factor Común entre ellos).

¿Cuándo desisto de usar el caso?

Cuando probé agrupar de distintas maneras y nunca dan resultados que sirvan (Ver los resultados que sirven en la pregunta anterior).

¿Cómo me doy cuenta de que dos términos son iguales pero están desordenados?

Piensa en cada término con el signo que tiene delante. Y recordemos que si un término no tiene nigún signo delante, hay que asumir que tiene el signo "+". Mira estos ejemplos:

(x + 3) es igual a (3 + x), porque los términos son "la x positiva (+x)" y "el 3 positivo (+3)" (En realidad, es porque la suma cumple una propiedad llamada "Conmutativa")

(a - b) es igual a (-b + a), porque los términos son "la a positiva (+a)" y "el b negativo (-b)".

(-x - 1) es igual a (-1 - x), porque son los términos "x negativa (-x)" y "1 negativo (-1)"

¿Cómo me doy cuenta de que son dos términos iguales pero con el signo contrario (o sea, que son "opuestos")?

Igual que en el punto anterior, mirando atentamente cada término con su signo (el signo que tiene delante; y si no hay nada, hay un "+"). Por ejemplo:

(x + 5) tiene los signos contrarios a (-x - 5)
(x - 3) tiene los signos contarios a (-x + 3)

¿Cómo me doy cuenta de que son dos términos iguales pero desordenados y con el signo contrario?

De la misma manera que en los dos puntos anteriores: Mirando atentamente cada término con su signo (el signo que tiene delante; y si no hay nada, hay un "+"). Por ejemplo:

(x + 5) es "desordenado y contrario" con (-5 - x)
(x - 4) es "desordenado y contrario" con (4 - x)
(-x + 1) es "desordenado y contario" con (-1 + x)

CASO 3:

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Un trinomio cuadrado perfecto, es un polinomio de tres términos que resulta de elevar al cuadrado un binomio.

Todo trinomio de la forma:

a² + 2ab + b²

Es un trinomio cuadrado perfecto ya que

(a + b)²

= (a + b)(a + b)

= a² + ab + ab + b²

De lo anterior resulta que un trinomio será cuadrado perfecto siempre que se cumplan las siguientes condiciones:

1. El polinomio pueda ser ordenado en potencias descendentes de una variable

2. Dos de los términos son cuadrados perfectos

3. El otro término es el doble producto de las raíces cuadradas de los demás.

Todo trinomio cuadrado perfecto, sus dos términos extremos son positivos y cuadrados perfectos

Cuando son cuadrados perfectos el término medio debe ser el doble producto de la raíz cuadrada de ellos dos
El binomio resultante de la factorización tiene las siguientes características:

1. Sus dos términos son las raíces cuadradas de los términos externos del trinomio cuadrado perfecto

2. El signo del binomio resultante es el mismo que el del término medio del trinomio cuadrado perfecto.

CASO 4 : DIFERENCIA DE CUADRADO

La diferencia de cuadrados perfectos se factoriza como el producto de dos binomios, uno como suma y otro como resta. Los términos de estos binomios son las raíces cuadradas de cada uno de los términos de la diferencia planteada al principio.

Regla para factorar una diferencia de cuadrados:

Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces cuadradas por la diferencia de dichas raíces.

Ejemplo: a^2 – b^2 = (a +b)(a -b)

Primero se extraen la raíces cuadradas y luego se forman los factores.

Procedimiento para factorar una diferencia de cuadrados perfectos:

>> Factorar (1 -a)^2.

a) Raíz cuadrada de 1 = 1 Raíz cuadrada de a^2 = a

b) Se multiplican los factores: (1 +a)(1 -a) y esta es la Solución.

CASO 5 :
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN O SUSTRACCIÓN

Para que un trinomio se convierta en un trinomio cuadrado perfecto, se debe sumar y restar un mismo número (semejante al segundo término) para que el segundo término sea el doble producto de las raíces cuadradas del primer y último término. A este proceso se le denomina completar cuadrados.

Tomar en cuenta:

· Si el 2º término del trinomio no es igual al producto encontrado, no es cuadrado perfecto. Por lo que se procede a convertirlo en un trinomio cuadrado perfecto.

· Se comprueba si el trinomio es cuadrado perfecto, extrayendo la raíz cuadrada al primer y tercer término; las raíces cuadradas de estos términos se multiplican por 2, y este producto se compara con el segundo término del trinomio dado.

· Se le suma al 2º término la diferencia que falta para que sea igual a producto encontrado en la comprobación del trinomio; y además para que el trinomio dado no varíe hay que restarle esta misma diferencia a todo el trinomio.

· Por último se encuentra el resultado como en una diferencia de cuadrados perfectos.

Desarrollo de un ejercicio de Trinomio Cuadrado perfecto por Adición o Sustracción

· Se ordena el trinomio.

· Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término.

· Se halla el doble producto de las raíces halladas en el paso anterior.

· Se compara el resultado obtenido en el paso anterior con el segundo término del trinomio.

· Se suma o resta, según el caso, la cantidad necesaria para crea el segundo término del trinomio cuadrado perfecto.

· Se resta o se suma la misma cantidad que se sume o reste en el paso anterior, para que el valor de la expresión no se altere.

CASO 6 :
TRINOMIO DE LA FORMA x² + bx + c.

Los trinomios de esta forma tienen las siguientes características:

1. El coeficiente del primer término es 1.

2. La variable del segundo término es la misma que la del primer término pero con exponente a la mitad.

3. El tercer término es independiente de la letra que aparece en el primer y segundo términos del trinomio.

Para factorizar un trinomio de la forma x² + bx + c, se buscan dos números m y n, tales que,

x² + bx + c = (x + m)(x + n); donde m + n = b y m.n = c

Esto quiere decir, que la suma o resta de estos dos números sea igual al coeficiente del segundo término y

su producto sea el tercer término; los signos de los factores es: en el primer factor se escribe el signo del segundo término del trinomio y para el segundo factor

se multiplican el signo del segundo término con el signo del tercer término.

EJERCICIOS RESUELTOS:

Factorizar.

1. x² + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2)

2. a⁴ - 7a² - 30 = (a² - 10)(a² + 3)

3. m² + abcm - 56a²b²c² = (m + 8abc)(m - 7abc)

CASO 7:
TRINOMIO DE LA FORMA ax^2 +bx +c

Características:

· El coeficiente del primer término es diferente de 1.

· La variable del segundo término es la misma que la del primer término pero con exponente a la mitad.

· El tercer término es independiente de la letra que aparece en el primer y segundo términos del trinomio.

Condiciones:

· El primer término tiene un coeficiente mayor que 1 y tiene una letra cualquiera elevada al cuadrado.

· El segundo término tiene la misma letra que el primero pero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera positiva o negativa.

· El tercer término es una cantidad cualquiera positiva o negativa sin ninguna letra en común con el 1° y 2° términos.

Desarrollo de un ejercicio de Trinomio Cuadrado perfecto por Adición o Sustracción

Antes de descomponer el trinomio en dos factores binomios, se procede así: como ejemplo: 6x^2 -7x -3.

· Se multiplica el coeficiente del primer término ” 6 ” por todo el trinomio, dejando el producto del 2° término indicado: 6(6x^2 -7x +3) = 36x^2 -6(7x) -18

· Se ordena tomando en cuenta que 36x^2 = (6x)^2 y 6(-7x) = -7(6x), escribiéndolo de la siguiente manera: (6x)^2 -7(6x) -18.

· Luego se procede a factorizar (6x)^2 -7(6x) -18 como un problema del Caso VI. con una variante que se explica en el Inciso 6°.

· Se forman 2 factores binomios con la raíz cuadrada del primer término del trinomio: (6x- )(6x+ )

· Se buscan dos #s cuya diferencia sea -7 y cuyo producto sea -18 ; y esos #s son -9 y +2 porque: -9 +2 = -7 y (-9)(2) = -18 –> = (6x-9)(6x+2)

· Aquí está la variante: Como al principio multiplicamos el trinomio por “6”, entonces ahora los factores binomios encontrados, los dividimos entre “6”. (6x-9)(6x+2) / 6 ; como ninguno de los binomios es divisible entre “6” entonces descomponemos el “6” en dos factores (3 y 2), de manera que uno divida a un factor binomio y el segundo divida al otro. Así: (6x-9) / 3 y (6x+2) / 2, y estos cocientes quedarían así: (2x-3)(3x+1). Que sería la Solución.

Caso 8 CUBO PERFECTO DE BINOMIOS

Para poder realizar los ejercicios de este caso, es importante tomar en cuenta los siguientes parámetros de carácter fundamental para que se cumpla el cubo perfecto de binomios:

1-Contener cuatro términos.

2-Que el primero y el ultimo termino sean cubos perfectos (Raíz cubica exacta).

3-Que el segundo termino sea tres veces el producto del cuadrado de la raíz cubica del primero por la raíz cubica del ultimo termino.

4-Que el tercer termino sea 3 veces el producto de la raíz del primero por el cuadrado de la raíz del último.

5-El primer término y el tercer término sean positivos, también que el segundo y el cuarto tengan el mismo signo sea positivo o negativo.

CASO 9 : SUMA O DIFERENCIA DE

CUBOS PERFECTOS

Para identificar una diferencia de cubos o una suma de cubos, es muy fácil, son dos términos, ambos deben de estar elevados a la tercera potencia o elevados al cubo, ya sea que se estén sumando o restando.

1 . Suma de cubos perfectos

Para factorizar una suma de cubos se hace de la siguiente forma:

a³ + b³= (a + b) (a²- ab + b²)

1) En el primer factor o paréntesis: Se saca la raíz cubica de ambos miembros con el mismo signo de la operación que se realiza, en este caso una suma.

2) En el segundo factor o paréntesis: Se coloca, el primer término del paréntesis anterior elevado al cuadrado, la operación contraria, en este caso en el primer paréntesis se realizaba una suma, así que la operación contraria es una resta, producto de los dos términos del paréntesis anterior, y después se coloca sumando el segundo término del primer paréntesis elevado al cuadrado.

De donde se deducen la siguiente regla:

· La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, el primero es la suma de sus raíces cúbicas, y el segundo se compone del cuadrado de la primera raíz menos el producto de ambas raíces más el cuadrado de la segunda raíz.

Realizamos la comprobación:

(a + b) (a²- ab + b²) = a³ - a²b - ab² + a²b + ab² + b³ = a³ + b³

Ejemplo

Factorizar 8x³ + 27

La raíz cúbica de: 8x³ es 2x
La raíz cúbica de: 27 es 3

Según procedimiento 8x³ + 27 = (2x + 3) [(2x)² - (2x) (3) + (3)²]

Luego 8x³ + 27 = (2x + 3) (4x² - 6x + 9)

2. Diferencia de cubos perfectos

Para factorizar una diferencia de cubos se hace de la siguiente forma:

a³ – b³= (a – b) (a²+ ab + b²)

1) En el primer factor o paréntesis: Se saca la raíz cubica de ambos miembros con el mismo signo de la operación que se realiza, en este caso una resta, ambos miembros quedan como un solo factor, encerrados en un paréntesis,

2) En el primer factor o paréntesis: Se coloca, el primer término del paréntesis anterior elevado al cuadrado, la operación contraria, en este caso en el primer paréntesis se realizaba una resta, así que la operación contraria es una suma, producto de los dos términos del paréntesis anterior, y después se coloca sumando el segundo término del primer paréntesis elevado al cuadrado.

De donde se deducen la siguiente regla:

· La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, el primero es la diferencia de sus raíces cúbicas, y el segundo se compone del cuadrado de la primera raíz más el producto de ambas raíces más el cuadrado de la segunda raíz.

Realizamos la comprobación:

(a – b) (a²+ ab + b²) = a³ + a²b + ab² - a²b - ab² – b³ = a³ – b³

Ejemplo

Factorizar 64x³ - 1000

La raíz cúbica de: 64x³ es 4x
La raíz cúbica de: 1000 es 10

Según procedimiento 64x³ – 1000 = (4x - 10) [(4x)² + (4x) (10) + (10)²]

Luego 64x³ – 1000 = (4x - 10) (16x² + 40x + 100)

CASO 10 SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES

CARACTERÍSTICAS DE LA EXPRESIÓN A FACTORIZAR:

El número de monomios que la conforma son dos (2).
La raiz del primer y segundo monomio tienen que ser raíces n- ésimas diferentes a raíces cuadradas o cúbicas.
Válido para operaciones tanto de suma como de resta entre los monomios.

PASOS PARA EL DESARROLLO DE LA FACTORIZACIÓN:

Organizar los monomios de mayor a menor exponente.
Sacar la raíz n-ésima al primer y segundo término.
Dividir la expresión original entre la suma o resta (de acuerdo al signo del segundo término) de las raíces.
Igualar éste término a la suma de los (n-1) monomios en donde se observa que el primer termino comienza elevado a la (n-1) y termina en 0, mientras que el segundo término comienza en 0 y termina en (n-1).
Pasar a multiplicar el término ubicado en el denominador a la expresión obtenida en el paso anterior.
Verificar que la expresión da el ejercicio que se quiere desarrollar.

EJEMPLO:

FACTORIZAR: (m5 + n5) / (m +n )

SOLUCIÓN:

(m5 + n5) / (m + n ) = m4 – m3 n + m2 n2 - m n3 + n4

(m5 + n5) = (m + n ) . (m4 – m3 n + m2 n2 - m n3 + n4)