Geometría Analítica plana
Eclipse
Definición
Es una similar a una cónica, resultado de la
intersección de un cono con un plano oblicuo que no corta la base. Una elipse
que gira alrededor de eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una
elipse que gira alrededor de su eje principal da como resultado un esferoide
alargado. La elipse al igual que la parábola es una curva con importantes aplicaciones
prácticas que abarcan campos como la ingeniería y la astronomía
Ilustración 1; Recursostic.educación.es
elipse
Historia
de la Elipse
Fue estudiada por Menaechmus quien fue un matemático y
geómetra nacido en Alopeconnesus conocido por la amistad que tenía con Platón y
por su aparentemente descubrimiento de las secciones cónicas, es decir la
elipse, la parábola y la hipérbola. Incluso la solución al problema Delos. La
Elipse luego fue investigada por Euclides y su nombre se le atribuye a Apolonio
de Perge. El foco y la directriz de la sección cónica de una elipse fueron
estudiados por Pappus.
En 1602 Kleper
creía que la órbita de Marte era ovalada, aunque más tarde se descubrió
que se trataba de una elipse con el sol en un foco. Incluso Kleper introdujo la
palabra “focus” y publicó su descubrimiento en 1609 luego demostró que el
cometa que ahora lleva su nombre, trazaba una órbita elíptica alrededor del
sol. (Alumnos, 2010)
Semieje menor: longitud del
segmento OJ u OL (b). Ambos semiejes son los dos ejes de
simetría de la elipse. Se cumple que:
Concepto
Es el lugar
geométrico de los puntos del plano, cuya suma de la distancia de los puntos
llamados “focos” (fijos F1 y F2) es constante. Es decir para todo punto a la de
la elipse, la suma de la distancia d1y d2 es constante.
Ilustración 1 de "universo formulas" Elipse
El centro de la elipse es el punto
medio del segmento de línea que une sus focos. El eje mayor de la elipse es la
cuerda que pasa a través de sus focos y tiene sus puntos finales en la elipse.
El eje menor de la elipse es la cuerda que contiene el centro de la
elipse, tiene sus puntos finales en la elipse y es perpendicular al eje mayor.
Ilustración 2 de "Versity tutors" Elipse
Elementos
de la Elipse:
Los elementos más importantes de la elipse son:
Focos: son los puntos
fijos F1 y F2 que generan la elipse. La suma de las dos
distancias de cualquier punto de la elipse a los dos focos (d1 y d2) es
constante.
Distancia
focal (2c): distancia entre
los dos focos. F1F2=2c. C es la semi distancia focal.
Centro: es el punto medio de los dos focos (O).
Semieje
mayor: longitud del
segmento OI o OK (a). La longitud es mayor (o igual en el
caso de la circunferencia)
a la del semieje menor. La suma de las distancias de cualquier punto de la
elipse a los focos es constante y ésta es igual a dos veces el semieje mayor:
Radios
vectores: los radios
vectores de cualquier punto de la elipse (P=(x, y)) son los dos segmentos que
lo unen con los dos focos. PF1 y PF2 (en el
dibujo, d1 y d2).
Vértices: son los puntos resultantes de la
intersección de la elipse con la recta que pasa por los focos, F1F2, y su
perpendicular que pasa por el centro. Es decir, son los
puntos I, J, K y L.
El cálculo del perímetro de la elipse (o longitud de
la elipse) es muy difícil, aunque no lo parezca. Requiere de integrales
complicadas para su cálculo. Existen fórmulas que aproximan el cálculo hasta
valores bastante exactos. Existe una aproximación con menos del 5% de error,
siempre que el semieje mayor (a) no sea mucho más grande que el menor (b):
El matemático Ramanujan dio una
aproximación más exacta que la anterior:
Ecuación de una elipse
Los puntos pertenecientes a la elipse (x, y)
son los puntos del plano que cumplen que la suma de su distancia a los dos
focos es constante. La ecuación de la elipse es
la siguiente:
También dicho de esta forma: Tomamos como centro de
la elipse el centro de coordenadas y los ejes de la elipse como ejes de
coordenadas. Las coordenadas de los focos son:
Interesante la historia, realmente desconocía sobre aquello.
ResponderBorrarSí, muy interesante nos da una amplia mirada de la Elipse y de quienes fueron los que la investigaron.
ResponderBorrarConceptos claros y buenas ilustraciones que ayudan a entender el tema.
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