Hipérbole

DEFINICIÓN: La hipérbola es el conjunto de puntos del plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a los focos es constante.

El valor de esa constante es la distancia entre los vértices V1 y V2 de la hipérbola (2a).




ELEMENTOS DE LA HIPÉRBOLA
La hipérbola consta de los siguientes elementos que son:

§  Focos: son los dos puntos fijos (F1 y F2).
§  Radio vector: es la distancia R de un punto de la hipérbola (P) a cualquiera de los focos.
§  Eje focal: es el eje de simetría E que une a los dos focos. También se llama eje transverso.
§  Eje no transverso: es la mediatriz T del eje focal.
§  Centro: es el punto medio O de los dos focos. También se puede definir como la intersección del eje focal y el transverso.
§  Vértices: son los dos puntos de intersección del eje focal con la hipérbola (V1y V2).
§  Distancia focal: es la distancia 2c entre focos. También se denota como F1F2.
§  Eje real: es es la distancia 2a entre vértices.







§  Eje imaginario: es la distancia 2b de los puntos B1 y B2. Los puntos B1 y B2 se generan como vemos en las relaciones entre semiejes.
§  Asíntotas: son las líneas rectas (A1 y A2) que se aproximan a la hipérbola en el infinito.
§  Puntos interiores y exteriores: la hipérbola divide el plano en tres regiones. Dos regiones que contienen un foco cada una y otra región sin ningún foco. Los puntos contenidos en las regiones con un foco se llaman interiores (I) y los otros exteriores (Ex).
§  Tangentes de la hipérbola: sobre cada punto Pi de ambas ramas de la misma. Cada tangente es la bisectriz de los dos radios vectores del punto Pi.
§  Circunferencia principal (CP): su radio r=a y su centro en O. Es el lugar geométrico de las proyecciones de un foco sobre las tangentes.
§  Directrices de la hipérbola: son dos rectas paralelas al eje transverso (D1 y D2). Su distancia a cada una es a/e (e es la excentricidad de la hipérbola). Pasan por las intersecciones de la circunferencia principal con las asíntotas (A1 y A2).




                                        








HIPÉRBOLA ABIERTA HACIA LA DERECHA E IZQUIERDA
Ecuación
x2 a2 - y2 b2 =1

Vértices
(±a,0)

Eje Transversal
Horizontal de longitud 
2a
Asíntotas 

y=± b a x

Focos

(±c,0),  c2 = a2 + b2







HIPÉRBOLA ABIERTA HACIA ABAJO Y ARRIBA
Ecuación
y2 a2 - x2 b2 =1

Vértices
(0,±a)

Eje Transversal
Vertical de longituda 
2a

Asíntotas
y=± a b x

Focos

(0,±c),  c2 = a2 + b2






¿SABIAS QUE?


     La Hipérbola tiene propiedades de reflexión Si se dirige un haz de luz en dirección a uno de sus focos , el haz se reflejará antes de llegar, en el foco de la hipérbola en dirección contraria. Este principio se usa en los telescopios del tipo Cassegrain, es un tipo de telescopio reflector caracterizado por dos espejos: el principal o primario, cóncavo, recoge la luz del objeto observado y la refleja sobre un espejo secundario, convexo. Este último, a su vez, envía hacia atrás la imagen hasta un agujero existente en el centro del espejo primario donde la imagen es ampliada. Los telescopios de este tipo están en funcionamiento en algunos de los observatorios astronómicos más importantes del mundo. 






Cómo Determinar la Ecuación de la Hipérbola dada su Gráfica

 

Para determinar ecuación de una hipérbola dada su gráfica, debemos seguir los siguientes pasos

·       Paso1.- Determinar donde se abre la hipérbola: Si la hipérbola se abre de arriba hacia abajo su ecuación es: y2 a2 - x2 b2 =1
·       Si la hipérbola se abre a la derecha y la izquierda su ecuación es: x2 a2 - y2 b2 =1
·       Paso 2.-Análisis del rectángulo central: Los valores que dividen las variables x e y en la ecuación de la hipérbola son los cuadrados de los valores donde el rectángulo central intercepta el EjeX y el EjeY respectivamente.


Ejemplo:








     Solución:

1.Como la hipérbola se abre hacia arriba y abajo, su ecuación es de la forma 
y2 a2 - x2 b2 =1

2. Observando el rectángulo central podemos notar fácilmente que intercepta el Eje X en los puntos x=±3 e intercepta el Eje Y en puntos y=±4.

Esto significa que la ecuación de la hipérbola está dada por 
y2 42 - x2 32 =1   o    y2 16 - x2 9 =1




¿CUALES SON LOS PASOS QUE DEBEMOS SEGUIR SI QUEREMOS GRAFICAR UNA HIPÉRBOLA?
Explicaremos los pasos para graficar una hipérbola mediante un ejemplo concreto:

Ejemplo: Grafiquemos la hipérbola
x2 4 - y2 9 =1


Paso 1: Dibujar el rectángulo central: Dibuje el rectángulo formado por las rectas x=±2 y y=±3.










Paso 2: Trazar las rectas asíntotas: Trace las rectas que pasan por los vértices del rectángulo central.










Paso 3: Determinar el vértice de la hipérbola: Como la variable positiva es la x los vértices de la hipérbola son los puntos V(±2,0)




Paso 4: Hacer el bosquejo de la hipérbola: Finalmente trazamos la hipérbola usando como guía los vértices y las asíntotas







Excentricidad de la hipérbola
   A partir de la semidistancia focal y el semieje real es posible obtener un valor númerico que nos indique como de "abierta" o "amplia" es una hipérbola. Dicho valor recibe el nombre de excentricidad.



La excentricidad e de una hipérbola es el cociente entre si semidistancia focal y su semieje real:
e=ca
Donde:
  •    Semieje real
  •    Semidistancia focal
Este valor siempre será mayor que 1 y cuanto mayor sea su valor más "estrecha" o "cerrada" será la hipérbola
Ejemplo
Determina la excentricidad de la hipérbola dada por la siguiente ecuación:
y225−(x−2)216=1

Observando la ecuación del enunciado podemos deducir que se trata de un hipérbola de eje focal vertical centrada en P(2,0), en la que a2 = 25 y b2 = 16. Dado que la excentricidad e de cualquier hipérbola se obtiene por medio de la siguiente expresión:
e=ca

Vamos a calcular la semidistancia focal c. Para ello sabemos que:
c2=a2+b2 c2=25+16 c2=41 c=±41−−√

Dado que c es una distancia sólo puede tener un valor positivo y ese es el que tomaremos para calcular la excentricidad:
e=41−−√5e1.28









@andreapinoacost

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