Hipérbole
DEFINICIÓN:
La hipérbola es el conjunto de puntos del plano tales que el valor
absoluto de la diferencia de sus
distancias a los focos es constante.
El valor de esa
constante es la distancia entre los vértices V1 y V2 de la hipérbola
(2a).
ELEMENTOS
DE LA HIPÉRBOLA
La hipérbola consta de los siguientes elementos que
son:
§ Focos: son los dos puntos fijos (F1 y F2).
§ Radio
vector: es la distancia R de un punto de la
hipérbola (P) a cualquiera de los focos.
§ Eje
focal: es el eje de simetría E que une a los dos
focos. También se llama eje transverso.
§ Eje
no transverso: es la mediatriz T del eje focal.
§ Centro: es el punto medio O de
los dos focos. También se puede definir como la intersección del eje focal y el
transverso.
§ Vértices: son los dos puntos de intersección del eje focal con la hipérbola
(V1y V2).
§ Distancia focal: es la distancia 2c entre focos. También se denota
como F1F2.
§ Eje real: es es la distancia 2a entre vértices.
§ Eje imaginario: es la distancia 2b de los puntos B1 y B2. Los
puntos B1 y B2 se generan como vemos en las relaciones entre semiejes.
§ Puntos interiores y
exteriores: la hipérbola divide el plano en tres
regiones. Dos regiones que contienen un foco cada una y otra región sin ningún
foco. Los puntos contenidos en las regiones con un foco se llaman interiores
(I) y los otros exteriores (Ex).
§ Tangentes de la
hipérbola: sobre cada punto Pi de ambas
ramas de la misma. Cada tangente es la bisectriz de los dos radios vectores del
punto Pi.
§ Circunferencia
principal (CP): su
radio r=a y su centro en O. Es el lugar geométrico de las
proyecciones de un foco sobre las tangentes.
§ Directrices de la
hipérbola: son dos rectas paralelas al eje transverso
(D1 y D2). Su distancia a cada una es a/e (e es
la excentricidad de la hipérbola). Pasan por las intersecciones de la circunferencia principal con las
asíntotas (A1 y A2).
HIPÉRBOLA
ABIERTA HACIA LA DERECHA E IZQUIERDA
Ecuación
x2 a2 - y2 b2 =1
|
Vértices
(±a,0)
|
Eje Transversal
Horizontal de longitud 2a
Asíntotas
y=± b a x
|
Focos
(±c,0), c2 = a2 + b2
|
HIPÉRBOLA
ABIERTA HACIA ABAJO Y ARRIBA
Ecuación
y2 a2 - x2 b2 =1
|
Vértices
(0,±a)
|
Eje Transversal
Vertical de longituda 2a
Asíntotas
y=± a b x
|
Focos
(0,±c), c2 = a2 + b2
|
¿SABIAS
QUE?
La Hipérbola tiene propiedades de reflexión Si se
dirige un haz de luz en dirección a uno de sus focos , el haz se reflejará
antes de llegar, en el foco de la hipérbola en dirección contraria. Este
principio se usa en los telescopios del tipo Cassegrain, es un tipo de
telescopio reflector caracterizado por dos espejos: el principal o primario,
cóncavo, recoge la luz del objeto observado y la refleja sobre un espejo
secundario, convexo. Este último, a su vez, envía hacia atrás la imagen hasta
un agujero existente en el centro del espejo primario donde la imagen es
ampliada. Los telescopios de este tipo están en funcionamiento en algunos de
los observatorios astronómicos más importantes del mundo.
Cómo Determinar la Ecuación de la Hipérbola dada
su Gráfica
Para determinar ecuación de una hipérbola dada su
gráfica, debemos seguir los siguientes pasos
· Paso1.- Determinar
donde se abre la hipérbola: Si la hipérbola se
abre de arriba hacia abajo su ecuación es: y2 a2 - x2 b2 =1
· Si la hipérbola se abre a la derecha y la izquierda su ecuación es: x2 a2 - y2 b2 =1
·
Paso 2.-Análisis del rectángulo central: Los valores que dividen las variables x e y en la ecuación
de la hipérbola son los cuadrados de los valores donde el rectángulo central
intercepta el Eje X y el Eje Y respectivamente.
Ejemplo:
Solución:
1.Como la hipérbola se abre hacia arriba y abajo, su ecuación es de la
forma
y2 a2 - x2 b2 =1
|
2. Observando el rectángulo central podemos notar fácilmente que intercepta el Eje X en los puntos x=±3 e intercepta el Eje Y en puntos y=±4.
Esto significa que la ecuación de la hipérbola está dada por
y2 42 - x2 32 =1 o y2 16 - x2 9 =1
|
¿CUALES SON
LOS PASOS QUE DEBEMOS SEGUIR SI QUEREMOS GRAFICAR UNA HIPÉRBOLA?
Explicaremos los pasos para graficar una
hipérbola mediante un ejemplo concreto:
Ejemplo: Grafiquemos la
hipérbola
x2 4 - y2 9 =1
Paso 1: Dibujar
el rectángulo central: Dibuje el rectángulo formado por las rectas x=±2 y y=±3.
Paso 2: Trazar
las rectas asíntotas: Trace las rectas que pasan por los vértices del
rectángulo central.
Paso 3:
Determinar el vértice de la hipérbola: Como la variable positiva es la x los
vértices de la hipérbola son los puntos V(±2,0)
Paso 4:
Hacer el bosquejo de la hipérbola: Finalmente trazamos la hipérbola usando como
guía los vértices y las asíntotas
Excentricidad de la
hipérbola
A partir de la semidistancia focal y el semieje real es posible
obtener un valor númerico que nos indique como de "abierta" o
"amplia" es una hipérbola. Dicho valor recibe el nombre de
excentricidad.
La excentricidad e de una hipérbola es el
cociente entre si semidistancia focal y su semieje real:
e=ca
Donde:
- Semieje real
- Semidistancia focal
Este valor siempre será mayor que 1 y cuanto mayor sea su valor más
"estrecha" o "cerrada" será la hipérbola
Ejemplo
Determina la excentricidad de la hipérbola dada por la siguiente
ecuación:
y225−(x−2)216=1
Observando la ecuación del enunciado podemos deducir que se trata de un
hipérbola de eje focal vertical centrada en P(2,0), en la que a2 = 25 y
b2 = 16. Dado que la excentricidad e de cualquier hipérbola se obtiene por
medio de la siguiente expresión:
e=ca
Vamos a calcular la semidistancia focal c. Para ello sabemos que:
c2=a2+b2 ⇒c2=25+16 ⇒c2=41 ⇒c=±41−−√
Dado que c es una distancia sólo puede tener un valor positivo y ese es
el que tomaremos para calcular la excentricidad:
e=41−−√5⇒e≅1.28
@andreapinoacost
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