Las Matemáticas en la Vida Diaria

Como se mencionó anteriormente, una circunferencia es una sucesión de puntos (curva) equidistantes de un mismo punto en común. Esta propiedad es la clave para hallar la expresión analítica de una circunferencia. Veamos como: Para cualquier punto, P (x, y) , de una circunferencia cuyo centro es el punto C (a, b) y con radio r La ecuación ordinaria es (x ─ a) 2+ (y ─ b) 2= r 2 Recordar siempre que en esta fórmula la x y la y serán las coordenadas de cualquier punto (P) sobre la circunferencia, equidistante del centro un radio (r) . Y que la a y la b corresponderán a las coordenadas del centro de la circunferencia C(a, b) .   Nota importante: Los ejercicios sobre esta materia pueden hacerse en uno u otro sentido. Es decir, si nos dan la ecuación de una circunferencia , a partir de ella podemos encontrar las coordenadas de su centro y el valor de su radio para graficarla o dibujarla. Y si nos dan las coordenadas del centro de una circunferencia y el radio o datos para

1.- IGUALDAD: Dos figuras planas son iguales cuando sus lados y sus ángulos son iguales y están dispuestos en el mismo orden Construcción de una figura igual a otra dada . La igualdad no afecta a ningún atributo del sujeto, permaneciendo éste invariable. Puede considerarse como la inexistencia de cualquier transformación.   2.- IDENTIDAD: Dos figuras son idénticas cuando se superponen exactamente.  Todas las figuras idénticas son iguales, pero no todas las figuras iguales son idénticas. Elementos dobles son aquellos cuyos transformados coinciden con los originales. Cuando todos los puntos del plano son dobles la transformación se llama identidad . 

Subconjunto  Conjunto de elementos que tienen las mismas características y que está incluido dentro de otro conjunto más amplio. Conjunto potencia El conjunto potencia es aquel que está formado por todos los posibles subconjuntos de A  y el símbolo que se utiliza para este conjunto es P(A) y el número de conjunto potencia es 2 elevado al número de elementos del conjunto A. #AndreaPino

Centro: punto central que está a la misma distancia de todos los puntos pertenecientes a la circunferencia.  Diámetro: Es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. El diámetro siempre es el doble del radio: d = 2r r = d/2 . Radio: Es un segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de ella.  Arco: curva continua que une dos puntos de una cuerda.  Cuerda: es el segmento que une dos puntos cualquiera de la circunferencia. Las cuerdas tienen distintas medidas.  Tangente: es la recta que intersecta en un solo punto a la circunferencia.  Secante: es la recta que intersecta en dos puntos a la circunferencia. Longitud de la circunferencia  La longitud de la circunferencia es igual a dos veces el radio (r) por π, o lo que es lo mismo, el diámetro (D) de la circunferencia por π. El concepto “longitud de la circunferencia” es igual al del “perímetro del círculo” y miden lo mismo

Existen variedades de cuantificadores, entre los mas utilizados se encuentran:  Cuantificador Universal Cualquier cuantificad Cuantificador Existencial Cuantificador Existencial único Cuantificador Universal: Cualquier cuantificador de la forma para todo, todo, para cada, o cada, se llama cuantificador universal y se simboliza por “ ∀ Cuantificador Existencia Los cuantificadores de la forma existe por lo menos uno, se llaman cuantificadores existenciales y se representan así: “Ǝ”. Cuantificador existencial único: El cuantificador existencial con marca de unicidad se usa para indicar que hay un único elemento de un conjunto A que cumple una determinada propiedad. #AndreaPino

Definición:  Cuando Hablamos de cuantificadores hacemos referencia a los símbolos que son utilizados para establecer cuantos elementos de un conjunto determinado cumple con cierta propiedad Generalmente son usados en la lógica matemática, teoría de conjuntos y la matemática en general. Cabe destacarse que esta palabra se halla en estrecha relación con otro concepto, el de cuantificar, el cual implica una acción que es la de enunciar una cantidad. Entonces, de esto se desprende que ambos conceptos se vinculan con lo cuantitativo que implica la indicación de una magnitud a partir de números. Siempre que se cuantifique algo se estará poniendo la situación en cuestión en números, hecho que permite a veces conocer la magnitud o el alcance que pueda tener esa situación. #AndreaPino

¿Qué es la circunferencia?  Es una línea curva, cerrada y plana, cuyos puntos resultan equidistantes de otro punto llamado centro que se localiza en el mismo plano. Esta distancia que separa al conjunto de puntos y al punto central se conoce como radio, mientras que el segmento de recta que compone un par de radios alineados recibe el nombre de diámetro. Así mismo, al ser la circunferencia una línea, esta tiene una sola dimensión, la longitud. ¿ Es lo mismo que círculo circunferencia que círculo?  Circunferencia y círculo son conceptos completamente diferentes aunque no independientes el uno del otro. Esto se debe en gran parte a que ambos comparten todos sus elementos relevantes, como el centro por ejemplo. Para despejar esta dudad es importante aclarar otros conceptos como: Figura: es un área delimitada con una línea. Forma: es el aspecto interno del área delimitada. No obstante, esta confusión no debe tener lugar, pues cada concepto hace referencia, uno a la s

Definición: La igualdad e identidad es la inexistencia de cualquier transformación. Sabemos que dos figuras son iguales o congruentes cuando una de ellas puede obtenerse por transformación de la otra mediante uno o más movimientos. Además  algunas figuras iguales son idénticas cuando coinciden exactamente al superponerlas. Lógicamente, las figuras idénticas siempre son iguales, pero las figuras iguales no siempre son idénticas. Dos figuras planas iguales no coinciden exactamente al superponerlas, pero sus lados y sus ángulos son iguales y, además, están dispuestos en el mismo orden (se conserva el orden pero no la orientación de los ángulos). Es decir, se obtienen figuras idénticas a partir de transformaciones isométricas directas (en el plano: la traslación, el giro y la simetría central), y se obtienen figuras iguales a partir de transformaciones isométricas inversas (en el plano: la simetría axial).  #AndrePino

Definición  Es aquella escala en la que las dimensiones reales del objeto representado en el dibujo están expresadas en una reglilla graduada, es decir, es la representación de la escala numérica. La escala gráfica nos permite conocer directamente las dimensiones del objeto real, sin necesidad de realizar operaciones matemáticas La contra escala representa la unidad de la escala gráfica divida por diez. LECTURA DEL ESCALÍMETRO La lectura de medidas tomadas mediante el escalímetro no representa mayor dificultad que las tomadas empleando una escala volante. Las escalas que viene fijadas en el escalímetro, así como las cifras y sus unidades de medidas correspondientes facilitan la lectura de cualquier medida que se haya de tomar en un dibujo; sólo hay que tener en consideración lo explicado en el apartado anterior referente a la apreciación de las distintas escalas. En la imagen inferior tenemos un escalímetro que muestra las escalas 1:1 y 1:10, es fácil verificar que

Robert Delaunay es uno de los artistas que hizo uso de las circunferencias para la realización de sus obras abstractas donde las circunferencias eran usadas para dar ritmo a la sinfonía de color, en la vida cotidiana los CD’s que aunque se vean muy simples requieren de mucha precisión para un correcto funcionamiento por esto es importante el uso de técnicas de radio y diámetro o en los relojes los cuales necesitan un sistema de engranajes que requieren dar una medición perfecta de la hora. CIRCUNFERENCIAS   ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA   Ejercicios:   1.- Dada la circunferencia de ecuación x^2 + y^2 -2x +4y = 0, hallar el centro y el radio Debemos encontrar las coordenadas C = (a,b): La fórmula general nos permite encontrar estos valores a partir de la ecuación proporcionada por el enunciado Fórmula general:  x^2 + y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2 - r^2 = 0 Donde  A = -2a, B = -2b y C = a^2 + b^2 - r^2 Nos queda como fórmula: x^2 + y^2 + Ax + By +

TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS Es una operación que posibilita obtener una figura nueva a partir de otra dada. En una transformación a cada elemento (punto, recta, figura) le corresponde otro. Los elementos dobles o invariantes son aquellos a los que al aplicarles la transformación sigue en el mismo lugar geométrico, es decir, se transforman en sí mismos. Se pueden clasificar en transformaciones isométricas, isomórficas y anamórficas. ¿Que son transformaciones isométricas? Isometría proviene del griego iso, prefijo que significa igual, y metría, que significa medir. Se denomina transformación isométrica de una figura a aquella que no altera su forma ni su tamaño y cuando la figura resultante de la transformación conserva las magnitudes (distancias y ángulos) de la figura inicial. Es decir el resultado de la transformación es una figura idéntica a la de partida. Solo se cambia la posición de las figuras conservando su forma y su tamaño, es decir sus relaciones mé

Como ya hemos visto anteriormente las ecuaciones en dos variables representan lugares geométricos en el plano. Empezaremos nuestro estudio de lugares geométricos con las rectas, que son los más sencillos. Consideremos el problema de encontrar la ecuación de la recta no vertical que pasa por un punto P(x1, y1)   y tiene pendiente m. Si Q(x, y) es cualquier otro punto de la recta, se debe satisfacer M= y2-y1 X2-x1 Puesto que Q ≠ P y la recta no es vertical, x ≠ x1 multiplicando por x – x1, obtenemos: Ecuación 1: y-y1 =m (x-x1) Esta forma de la ecuación de la recta se llama ecuación punto-pendiente de la recta, ya que la obtuvimos conociendo la pendiente y un punto de ella, y recíprocamente si vemos una ecuación de este tipo, podemos saber por qué punto pasa la recta y que pendiente tiene. Ecuación general de la recta. Nos gustaría tener una forma de la ecuación de la recta que cubriera tanto a las rectas verticales como a l

1.       Conjunto Referencial Se refiere a todos los elementos que perecen a los conjuntos y los que estén a su alrededor. Ejemplo: ·         La ESPOL es el conjunto referencial que contiene a varios conjuntos de estudiantes en distintas aulas y otros que se encuentran fuera de ellas. 2.      Conjuntos Superpuestos (Intersección) Estos conjuntos tienen elementos iguales, los cuales hacen que estos conjuntos se conecten o se entrelacen. Ejemplo: ·         Tú y tú hermano son personas físicamente diferentes. Sin embargo, por ser hermanos tienen una característica similar, Y es esta característica que los hace ser superpuestos. ·         Cuando copias una tarea y solo cambias ciertas palabras para que no se parezca. Estas palabras que quedan iguales serian el conjunto superpuesto. #AndreaPino

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Progresiones geométricas Las progresiones geométricas son una sucesión o recopilación ordenada e infinita o finita de números reales en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad estable llamado razón o constante. Ej. a= (4, 8, 16, 32, 64,…)    a= a2/a1= 8/4= 2    a= a2/a1= 16/8= 2    a= a2/a1= 32/16= 2    a= a2/a1= 64/32= 2 Sucesión: a= (1, 3, 9, 27, 81,…) sucesión geométrica de razón 3 Se puede observar que el cociente siempre es el mismo número en este caso el número 2 que a su vez sería la razón o constante, así se puede determinar esta sucesión multiplicando por 2 para obtener la siguiente Formula de sucesión geométrica a1 a2= a1.r a3= a2.r a4= a3.r … #AndreaPino

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o    Anamórficas:  cuando cambia la forma de la figura original. Una de ellas es la inversión. Se subdividen en: 1.      HOMOLOGÍA: La homología es una transformación que no es isomórficas ni isométrica, pues no mantiene la forma ni el tamaño de las figuras. Transforma los puntos del plano A, B, C…en puntos del plano A’, B’, C’..., de modo que: •Dos puntos homólogos A y A’ están alineados con un punto fijo O que es el centro de la homología •Dos rectas homólogas r y r’ se cortan en una recta llamada eje de la homología 2.    AFINIDAD: La afinidad es una homología con el centro en el infinito. Es una transformación que   no es isomórficas ni isométrica, pues no mantiene la forma ni el tamaño de la figura que transforma. Transforma los puntos del plano A, B, C… en puntos del plano A’, B’, C’, ... de modo que: •Dos puntos homólogos A y A’ definen un segmento paralelo a la dirección de afinidad d. •Dos rectas homólogas r y r’ se cortan e

1.      De igualdad: Lados y ángulos iguales, dispuestos en el mismo orden.                                      2. De identidad: Cuando coinciden exactamente al sobre ponerlas           3.     De traslación: Cuando están definidos por dos puntos homólogos A y A 1    y la traslación o vector AA 1. 4.    Simetría central: Cuando los puntos A y A 1    son simétricos respecto a un tercero O, y cuando están sobre una misma recta perpendicular al eje y equidista del punto central O. 5.    Simetría axial: Cuando los puntos A y A 1 son simétricos respecto a un eje, cuando están situados sobre rectas perpendiculares al eje y equidistan de él.  6.  Giro: cuando un punto, recta o figura plana se mueve alrededor de un punto fijo O (centro del giro) con un sentido positivo o negativo y un ángulo determinado. #AndreaPino